Struttura della Materia
lezioni 17 e 18

• Fin qui nella teoria dell'interazione fra radiazione elettromagnetica e atomo di idrogeno abbiamo parlato solo della parte spaziale della funzione d'onda e mai dello spin. Il motivo è che (in assenza di un campo magnetico esterno B) lo spin dell'elettrone non figura proprio nell'hamiltoniana; anche quando il campo magnetico esterno B c'è, il termine è piccolo (ordine v/c) e si può trattare perturbativamente: lo vedremo meglio negli esercizi, ripassando cosí le matrici di Pauli ed altre cose connesse apprese a MQ.


• Se il campo magnetico esterno B tende a zero, l'hamiltoniana non dipende dallo spin, ma lo spin dell'elettrone rimane; la sua funzione d'onda deve continuare a dipendere non solo dalla posizione r (le tre coordinate x,y,z, continue, definite in tutto lo spazio), ma anche dalla coordinata di spin (discreta, s_z= ± 1). Ad ogni autostato spaziale (e relativo autovalore) corrispondono dunque due autostati dell'hamiltoniana: i due spin-orbitali che si possono ottenere come prodotto dell'autostato spaziale che risolve l'equazione di Schrödinger (che se B=0 è solo spaziale) con ciascuno dei due possibili stati di spin autostati di s² e di s_z (spesso simboleggiati da |↑〉e |↓〉 e maneggiabili, insieme alle matrici di Pauli, come versori di uno spazio a due dimensioni). Vediamo cosí che per B=0 tutti gli autovalori energetici dell'elettrone, che ha spin 1/2, sono almeno doppiamente degeneri (è un caso particolare del teorema di Kramers).


• Cronologia:
1922 ‐ esperimento di Stern e Gerlach
1925 ‐ spin e principio di Pauli
1925 ‐ Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren
1925 ‐ (A proposito del nesso fra il completamento dei gruppi di elettroni nell'atomo e la struttura complessa degli spettri)
1926 ‐ equazione di Schrödinger
1926 ‐ statistica di Fermi-Dirac
1927 ‐ equazione di Pauli
1928 ‐ equazione di Dirac (NB nel limite v/c → 0 restituisce Schrödinger, Pauli e spin-orbita, rispettivamente all'ordine 0, 1 e 2 in v/c)
1928 ‐ campo autoconsistente di Hartree
1929 ‐ determinante di Slater
1930 ‐ metodo Hartree-Fock


• metodo di Hartree: prodotto di orbitali di singolo elettrone che tiene conto del principio di Pauli ma non della loro indistingubilità
• determinante di Slater: prodotto antisimmetrizzato di N spin-orbitali di singolo elettrone, autostato esatto dell'hamiltoniana non-interagente a N elettroni ("non-interagente" = senza termini di repulsione elettrone-elettrone); incorpora automaticamente il principio di Pauli
• caso N=2 (elio o atomi tipo Li+, Be++, eccetera)
‐ stato fondamentale 1s1s = 1s² (un solo stato possibile, singoletto S=0)
‐ primo stato eccitato 1s2s (quattro stati possibili, uno di singoletto S=0, tre di tripletto S=1)
‐ primo stato eccitato 1s2s, in assenza di repulsione elettrone-elettrone singoletto e tripletto degeneri (stessa energia)

• caso N=2, aggiungo la repulsione elettrone-elettrone
‐ stato fondamentale 1s²,  l'energia dovrà salire rispetto a ‐Z², stime quantitative: la prossima volta
‐ primo stato eccitato 1s2s, singoletto e tripletto saliranno tutti e due rispetto a ‐(5/8) Z², ma dei due quale sarà piú basso in energia?
‐ stima qualitativa: la parte spaziale del tripletto tiene lontani i due elettroni, quella del singoletto no → tripletto piú basso in energia