Struttura della Materia
lezioni 17 e 18
Comunicazione 1
Nel programma di MQ da voi seguito con il prof. Martinelli si legge
—al punto 13) "Composizione dei momenti angolari"
—al punto 15) "Spin e hamiltoniana di Pauli; momento magnetico di una particella dotata di spin; effetto Zeeman e cenni sull'interazione spin-orbita"
—al punto 16) "Particelle identiche in meccanica quantistica; fermioni e bosoni; costruzione della funzione d'onda per un sistema di N particelle; determinante di Slater; interazione di scambio"
—al punto 17) "Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo"
—al punto 18) "Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, regola d'oro di Fermi"
Ergo: molto di quel che abbiamo fatto finora e faremo si può considerare un ripasso e un'applicazione della meccanica quantistica non relativistica appresa in quel corso.
Comunicazione 2
Le date degli esoneri sono state spostate
Il primo si terrà la mattina di mercoledí 3 maggio dalle 9 alle 11 (al posto della lezione, ma in aula Cabibbo), il secondo venerdí 23 giugno dalle 15 alle 17 in aula Amaldi.
L'informazione è stata coerentemente modificata nel calendario e nelle altre parti del sito web.
- Fin qui nella teoria dell'interazione fra radiazione elettromagnetica e atomo di idrogeno abbiamo parlato solo della parte spaziale della funzione d'onda e mai dello spin. Il motivo è che (in assenza di un campo magnetico esterno B) lo spin dell'elettrone non figura proprio nell'hamiltoniana; anche quando il campo magnetico esterno B c'è, il termine è piccolo (ordine v/c) e si può trattare perturbativamente: lo vedremo meglio negli esercizi, ripassando cosí le matrici di Pauli ed altre cose connesse apprese a MQ.
- Se il campo magnetico esterno B tende a zero, l'hamiltoniana non dipende dallo spin, ma lo spin dell'elettrone rimane; la sua funzione d'onda deve continuare a dipendere non solo dalla posizione r (le tre coordinate x,y,z, continue, definite in tutto lo spazio), ma anche dalla coordinata di spin (discreta, sz= ± 1). Ad ogni autostato spaziale (e relativo autovalore) corrispondono dunque due autostati dell'hamiltoniana: i due spin-orbitali che si possono ottenere come prodotto dell'autostato spaziale che risolve l'equazione di Schrödinger (che se B=0 è solo spaziale) con ciascuno dei due possibili stati di spin autostati di s2 e di sz (spesso simboleggiati da |↑〉e |↓〉 e maneggiabili, insieme alle matrici di Pauli, come versori di uno spazio a due dimensioni). Vediamo cosí che per B=0 tutti gli autovalori energetici dell'elettrone, che ha spin 1/2, sono almeno doppiamente degeneri (è un caso particolare del teorema di Kramers).
- Cronologia:
1922 ‐ esperimento di Stern e Gerlach
1925 ‐ spin e principio di Pauli
1925 ‐ Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren
1925 ‐ (A proposito del nesso fra il completamento dei gruppi di elettroni nell'atomo e la struttura complessa degli spettri)
1926 ‐ equazione di Schrödinger
1926 ‐ statistica di Fermi-Dirac
1927 ‐ equazione di Pauli
1928 ‐ equazione di Dirac (NB nel limite v/c → 0 restituisce Schrödinger, Pauli e spin-orbita, rispettivamente all'ordine 0, 1 e 2 in v/c)
1928 ‐ campo autoconsistente di Hartree
1929 ‐ determinante di Slater
1930 ‐ metodo Hartree-Fock
- metodo di Hartree: prodotto di orbitali di singolo elettrone che tiene conto del principio di Pauli ma non della loro indistingubilità
- determinante di Slater: prodotto antisimmetrizzato di N spin-orbitali di singolo elettrone, autostato esatto dell'hamiltoniana non-interagente a N elettroni ("non-interagente" = senza termini di repulsione elettrone-elettrone); incorpora automaticamente il principio di Pauli
- caso N=2 (elio o atomi tipo Li+, Be++, eccetera)
‐ stato fondamentale 1s1s = 1s2 (un solo stato possibile, singoletto S=0)
‐ primo stato eccitato 1s2s (quattro stati possibili, uno di singoletto S=0, tre di tripletto S=1)
‐ primo stato eccitato 1s2s, in assenza di repulsione elettrone-elettrone singoletto e tripletto degeneri (stessa energia)
- caso N=2, aggiungo la repulsione elettrone-elettrone
‐ stato fondamentale 1s2, l'energia dovrà salire rispetto a ‐Z2, stime quantitative: la prossima volta
‐ primo stato eccitato 1s2s, singoletto e tripletto saliranno tutti e due rispetto a ‐(5/8) Z2, ma dei due quale sarà piú basso in energia?
‐ stima qualitativa: la parte spaziale del tripletto tiene lontani i due elettroni, quella del singoletto no → tripletto piú basso in energia