Computational Statistical Mechanics (Bachelet-Moroni)
lezioni Bachelet 3 e 4

• ancora su funzionali e derivate funzionali: derivata di Fréchet e differenziale di Gateaux (per approfondire questo argomento una buona fonte sono le pagine 48-54 delle dispense del corso di Roi Baer su Electron density functional theory, riferimento utile anche per argomenti di lezioni successive)
• richiami di meccanica classica e quantistica:
• se un sistema quantistico ha spin semi-intero ed è invariante sotto inversione temporale, ogni suo livello energetico è almeno doppiamente degenere (teorema di Kramers, vedi anche MQ pagine 268-271)
• in assenza di campo magnetico l'hamiltoniana non relativistica di un elettrone è reale, la sua funzione d'onda ubbidisce alla stessa equazione di Schrödinger della sua complessa coniugata, e perciò le funzioni d'onda possono essere sempre scelte reali
• forza gravitazionale, potenziale centrale υ(r)= —K/r
• energia cinetica radiale, momento angolare ℓ, potenziale efficace, punti di inversione della velocità radiale
• classicamente per ε < υ(∞) orbite chiuse stabili per ℓ ≠ 0, caduta (rettilinea) sul centro per ℓ = 0
• forza coulombiana, potenziale centrale υ(r)= —K/r
• classicamente niente orbite chiuse stabili, caduta (spiraliforme) sul centro anche per ℓ ≠ 0 in quanto una carica accelerata (Maxwell) emette radiazione e.m. perdendo progressivamente energia
• l'atomo di idrogeno (e idrogenoidi: un elettrone e una carica nucleare Z) è stabile solo perché su scala microscopica vale la meccanica quantistica (energie discrete, "orbitali")
• nel caso quantistico la caduta sul centro non avviene nemmeno per ℓ = 0 (principio di indeterminazione): proprio lo stato fondamentale ha momento angolare nullo [1]
• ora la particella può andare anche oltre il punto di inversione classico, dove l'energia cinetica è negativa (zona classicamente proibita)
• NB: l'elettrone nell'atomo non è un elettrone libero, i suoi stati quantistici non sono autostati né dell'energia cinetica né dell'impulso (né della velocità)
• energia cinetica quantistica e curvatura locale della funzione d'onda
• energia media e energia cinetica media di stato fondamentale per un elettrone nel potenziale di un nucleo di carica Z qualunque (in unità atomiche la costante K eguaglia la carica nucleare Z)
• per i nuclei con Z grande (che sono i piú pesanti [2]) la velocità non è del tutto trascurabile rispetto a quella della luce
• sviluppo in potenze di v/c dell'equazione di Dirac per l'atomo di idrogeno (TQR pagine 151-157) [3], effetti relativistici come perturbazione: ordine zero, equazione di Schrödinger; primo ordine, equazione di Pauli (effetti visibili solo in presenza di campo magnetico); secondo ordine, effetto spin-orbita (doppietti relativistici) e effetti scalari
• degenerazione coulombiana (anticamente chiamata "accidentale"): se il potenziale è esattamente coulombiano, in meccanica quantistica non relativistica (equazione di Schrödinger) tutti gli stati con lo stesso numero quantico principale n e diverso momento angolare orbitale ℓ sono degeneri; in meccanica quantistica relativistica (equazione di Dirac), invece, sono gli stati con lo stesso numero quantico principale e uguale momento angolare totale 𝒿 ad essere degeneri (oltre che sul Landau trovate l'esercizio è completamente svolto per esempio qui); in entrambi i casi, non appena il potenziale devia dalla legge 1/r, questa degenerazione è rimossa