Fisica computazionale della materia (Bachelet-Moroni)
lezioni 35 e 36 (martedí 12 maggio 2015)
- richiami e completamento lezione del 24 aprile su determinanti di Slater, correlazione statica e dinamica e gas omogeneo Hartree-Fock
- teoria del funzionale densità, prima parte (qui il lavoro originale di Pierre Hohenberg e Walter Kohn del 1964)
- 1° teorema di Hohenberg e Kohn: per un sistema di N elettroni interagenti il potenziale esterno vext(r) è funzionale della densità di stato fondamentale no(r) [NB si parla qui della semplice densità a un corpo, non della matrice densità]
- se il potenziale esterno vext(r) è funzionale della densità di stato fondamentale no(r), anche tutte le altre proprietà del sistema (stati eccitati, polarizzabilità...) sono funzionali della sola densità di stato fondamentale; in particolare risultano funzionali della sola densità di stato fondamentale:
- lo stato fondamentale stesso Ψo = Ψo[no];
- l'energia di stato fondamentale Eo = <Ψo| H | Ψo> = Eo[no];
- qualunque altro funzionale di Ψo, quindi anche <Ψo| T+U | Ψo> = FHK[no], introdotto da Hohenberg e Kohn, dove T è l'energia cinetica (somma degli N operatori energia cinetica dei singoli elettroni) e U l'energia elettrone elettrone (somma delle energie coulombiane repulsive di tutte le coppie di elettroni)
- 2° teorema di Hohenberg e Kohn: siano dati N elettroni (interagenti fra loro, quindi, con repulsione coulombiana) e un ben preciso e fissato potenziale esterno vext(r). Qualunque sia la densità a un corpo n(r) (purché, integrata, contenga N elettroni), il funzionale definito come Evext[n] = FHK[n] + ∫ n(r) vext(r) d3r , cioè come somma di FHK, funzionale della sola densità ("funzionale universale di n": universale, ma di forma esplicita ignota), e di un altro funzionale Vext[n] = ∫ n(r) vext(r) d3r (che dipende esplicitamente e in modo noto da vext e da n), risulta minimo in corrispondenza della densità elettronica no(r) che corrisponde allo stato fondamentale Ψo del problema di Schrödinger di N elettroni interagenti nel potenziale esterno vext(r).