Metodi numerici quantistici, lezioni 1-4, mercoledí 11 ottobre, ore 9-13

1. Risposta alle domande; equazione di Schrödinger di due elettroni, coordinata relativa e coordinata del centro di massa, limite di piccola coordinata relativa, cuspide elettrone-elettrone nei casi di singoletto e tripletto.
2. Hamiltoniana e legame fra principio variazionale e equazione di Schrödinger.
3. Lo stato fondamentale è un singoletto: prova basata sul principio variazionale.
4. Base completa di funzioni spaziali a un elettrone; i prodotti di due funzioni di questa base formano una base spaziale completa per un sistema di due elettroni. Nel caso di piú di due elettroni questa è la base del metodo di “configuration interaction” caro ai chimici teorici.
5. Due elettroni non interagenti: hamiltoniana imperturbata, soluzioni.
6. Interazione elettrone-elettrone: stima perturbativa dell’energia di stato fondamentale.
7. Stima variazionale con base troncata al primo prodotto
• se si usa lo stato fondamentale dell’hamiltoniana imperturbata (non interagente) si riproduce il risultato perturbativo (non c’è niente da variare)
• se si dà flessibilità alla funzione a un elettrone attraverso parametri lineari e/o non lineari si ottengono stime migliori (energie piú basse)
• se infine si dà completa libertà variazionale alla funzione a un elettrone si ottiene l’equazione di Hartree; interpretazione elettrostatica e relazione fra energia totale e autovalori di particella singola
8. Applicazione all’elio atomico:
• elettroni non interagenti e stima perturbativa dell’energia di stato fondamentale
• stima variazionale con base troncata al primo prodotto di due funzioni a un elettrone, con funzioni a un elettrone parametrizzate da un solo parametro Z*
• stima variazionale con base troncata al primo prodotto di due funzioni a un elettrone, con le piú generali funzioni a un elettrone: Hartree
• fisica: come vanno gli ultimi due potenziali di ionizzazione in funzione di Z
9. Applicazione alla molecola d’idrogeno neutra:
• approssimazione preliminare della base a une elettrone: una sola funzione 1s per ciascun atomo; funziona bene perché lo stato 2s è lontano in energia (molto sopra, 3/8 au = circa 10 eV) e gli altri sono ancora piú alti
• con questa base la stima perturbativa e variazionale coincidono, perché per H2+ (molecola ionizzata una volta, hamiltoniana di singolo elettrone) lo stato fondamentale è dettato dalla sola simmetria di scambio dei due protoni
• con quella stessa base si possono però fare tre singoletti: inizio spiegazione e consegna della dispensina Ashcroft-Mermin sul “modello di Hubbard della molecola di idrogeno, da studiare a casa per la prossima volta.

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