tre esercizi presentati dal Dr. Cieri lunedí 17 novembre e loro soluzione
altri esercizi sul centro di massa (con soluzione) presentati dal Dr. Cieri lunedí 17 novembre

[NB: riporto qui la lezione di venedí 7/11, che conto di richiamare nella prima lezione di questa settimana]

1) il terzo principio della dinamica: "jede Anziehung ist wechselseitig" (Johann Wolfgang von Goethe)
—formulazione di Newton: azione e reazione
—forza fra ogni coppia di punti materiali diretta come la congiungente
—verso opposto a seconda di quale dei due punti è considerato sorgente della forza e quale oggetto della forza
—se in un sistema composto di due soli punti materiali l'unica forza è quella reciproca (niente forze esterne, sistema "isolato"), la somma della forza cui è soggetto il primo punto piú quella a cui è soggetto il secondo fa zero, e la somma delle due quantità di moto si conserva (è costante nel tempo)

2) digressione: urti (per ora solo elastici) fra due punti materiali
— siccome in un urto fra due punti materiali l'interazione è impulsiva (intensa e breve), durante l'urto si possono trascurare le forze esterne e far finta che il sistema composto di due punti materiali sia isolato
— quando la forza impulsiva è anche conservativa (esempio: racchetta e palla da tennis) anche la somma dell'energia cinetica del primo e del secondo punto materiale si conserva (nel senso che è la stessa prima e dopo l'urto, non durante) e l'urto si dice elastico
— in tal caso la conservazione della somma delle due quantità di moto e delle due energie cinetiche prima e dopo l'urto elastico consente, conoscendo le due masse e le due velocità prima dell'urto, di determinare le due velocità dopo l'urto
— soluzione generale e limiti notevoli quando una delle due masse è molto maggiore o minore dell'altra: TIR che sbatte su bicicletta ferma al semaforo e caso opposto (bicicletta contro TIR fermo al semaforo)

3) sistemi di N > 2 punti materiali: la prima equazione cardinale della dinamica
— nuova grandezza: vettore quantità di moto totale = somma delle quantità di moto di tutti i punti che compongono il sistema: P=∑_ip_i
— nuova grandezza: massa totale = somma di tutte le N masse: M_tot=∑_im_i
— nuova grandezza: centro di massa C = punto la cui posizione spaziale r_c è la media dei vettori posizione degli N punti materiali pesati con le rispettive masse: r_c=(1/M_tot)∑_im_ir_i
— con queste definizioni quantità di moto totale = prodotto della massa totale per la velocità (derivata rispetto al tempo della posizione) del centro di massa: P=M_totv_c
— nuova grandezza: risultante delle forze agenti sul sistema = somma vettoriale delle forze alle quali è soggetto ciascuno dei punti materiali che compongono il sistema: F=∑_if_i
— date le definizioni, la risultante delle forze agenti sul sistema eguaglia la derivata temporale della quantità di moto totale del sistema, la quale a sua volta, se la massa totale non varia nel tempo, eguaglia il prodotto della massa totale per l'accelerazione del centro di massa: dP/dt=M_tota_c=F
— se gli N punti materiali che compongono il sistema sono soggetti solo alle forze reciproche (o interne), che a due a due si annullano (sistema isolato, niente forze esterne), la risultante delle forze agenti sul sistema è nulla
— in un riferimento inerziale, se la risultante delle forze agenti sul sistema è nulla (= se il sistema è isolato), la quantità di moto totale del sistema si conserva (non cambia nel tempo), ovvero il suo centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme;
— se oltre alle forze reciproche fra ogni coppia di punti ("forze interne") agiscono sui punti materiali anche altre forze, esterne al sistema, la risultante (somma vettoriale) di tutte forze agenti su ciascuno dei punti del sistema eguaglia la risultante delle sole forze esterne
— ne consegue la prima equazione cardinale della dinamica: la derivata temporale della quantità di moto totale di un sistema di N punti materiali eguaglia la risultante delle sole forze esterne agenti sul sistema: dP/dt=F^(ext)

4) sistemi di N > 2 punti materiali: la seconda equazione cardinale della dinamica
— nuova grandezza vettoriale che caratterizza un sistema di N punti materiali: L_Ω, momento angolare totale rispetto a un polo Ω = somma vettoriale del momento angolare di ciascuno dei punti rispetto al polo Ω
— derivata temporale del momento angolare totale rispetto a Ω = T, somma vettoriale del momento rispetto a Ω della forza cui ciascuno degli N punti materiali è soggetto , cui va sottratto il prodotto vettore della velocità del punto Ω per la quantità di moto totale (versione generale della cosiddetta seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi): dL_Ω/dt = ∑_i(r_i‐r_Ω)×f_i ‐ v_Ω×P = T ‐ v_Ω×P
— se il polo Ω è fisso nel tempo, oppure coincide con il centro di massa, o la sua velocità è parallela a quella del centro di massa (quindi alla quantità di moto totale), il secondo addendo v_Ω×P è nullo e la seconda equazione cardinale si semplifica: dL_Ω/dt = ∑_i(r_i‐r_Ω)×f_i
— suddividendo le forze f_i in interne ed esterne e sfruttando il terzo principio della dinamica dimostriamo che T^(int) = ∑_i(r_i‐r_Ω)×f_i^(int) = 0, ovvero che T = T^(ext); ne segue che dL_Ω/dt = T^(ext) ‐ v_Ω×P = ∑_i(r_i‐r_Ω)×f_i^(ext) ‐ v_Ω×P, che nei casi in cui v_Ω×P = 0, elencati poco fa, si riduce a
dL_Ω/dt = ∑_i(r_i‐r_Ω)×f_i^(ext)
— se è nullo il vettore risultante dalla somma vettoriale dei momenti delle forze esterne cui è soggetto ciascuno dei punti materiali, cioè se T^(ext) = ∑_iτ_i^(ext) = ∑_i(r_i‐r_Ω)×f_i^(ext) = 0, allora dL_Ω/dt = T^(ext)‐ v_Ω×P = ‐ v_Ω×P, che nei casi in cui v_Ω×P = 0, elencati poco fa, si riduce a
dL_Ω/dt = 0, ovvero il vettore L_Ω è costante nel tempo;
— esempio di un tuffatore, un gatto o una pattinatrice: la forza esterna c'è (è la gravità), F^(ext) non è zero, ma la somma vettoriale dei momenti rispetto al centro di massa della forza di gravità di ciascuno dei punti massicci che lo compongono è, invece, nulla (T^(ext) = 0) e quindi il momento angolare totale rispetto al centro di massa (calcolato cioè scegliendo il suo centro di massa come polo Ω) è conservato; se il momento angolare totale deve restare invariato, il tuffatore gira piú velocemente quando "si raccoglie'' (le masse che compongono il suo corpo si avvicinano fra loro e quindi anche al suo centro di massa) e piú lentamente quando si distende (le masse che lo compongono si allontanano dal centro di massa);
— utile relazione fra momenti angolari rispetto a due poli diversi ("terzo teorema del centro di massa" secondo il nostro testo): il momento angolare di un sistema rispetto a un generico polo Ω eguaglia il momento angolare rispetto al centro di massa C sommato al prodotto vettoriale della distanza fra C e Ω e la quantità di moto totale del sistema: L_Ω = L_C + (r_C‐r_Ω)×P = L_C + (r_C‐r_Ω)× M_totv_C

5) intermezzo: esercizio, blocchetto su piano inclinato liscio libero a sua volta di scorrere orizzontalmente su pavimento liscio

6) sistemi a due corpi e riferimento del centro di massa S'
— riferimento del centro di massa, massa ridotta, coordinata relativa
— nel riferimento del centro di massa i due corpi hanno quantità di moto uguale in modulo e direzione e opposta in verso
— caso limite quando una delle due masse è molto maggiore dell'altra
— energia cinetica e momento angolare nel riferimento del centro di massa
— esempio gravitazionale
— urti perfettamente elastici, completamente anelastici e parzialmente anelastici nel riferimento del centro di massa: coefficiente di restituzione

7) ancora sul riferimento del centro di massa S'
— teorema di Koenig: K = K' + (1/2) M_totv_c²
— il momento angolare rispetto al centro di massa ha identica espressione in S e S'


• ESERCIZI PER LUNEDI' 24/11