• soluzione ESERCIZI del 20/10

• per chi vuole approfondire:
— un esercizio su molla + resistenza dell'aria (senza gravità): testo e dati numerici, soluzione analitica e numerica, due esempi grafici
— un'orbita non planare: pendolo sferico (conico) + resistenza dell'aria (prerequisiti: esercizio precedente e/o dispensina sull'oscillatore smorzato della scorsa settimana)
— dispensina su momento angolare e traiettorie planari (gustosi tripli e quadrupli prodotti vettoriali)
— un vecchio articolo di Physics Today sulla controversia della Vis Viva ai tempi di Leibniz
— un recente articolo delle Scienze sulla misura delle forze e di G (costante della gravitazione universale)
— una trattazione ampia e sistematica delle forze centrali che tocca molti punti inevitabilmente rimasti fuori dalle lezioni

• schema delle lezioni svolte

1) arretrati e ripasso
(a) lavoro delle forze apparenti, solo il trascinamento compie lavoro, Coriolis no
(b) potenza: definizione e unit\`a di misura
(c) teorema dell'impulso, forze impulsive

2) applicazioni
(a) forze dipendenti dal tempo nella dinamica di un ascensore fra due piani: impulso in partenza, moto a regime, impulso in frenata
(b) energia e lavoro nel moto di un ascensore fra due piani
(c) esercizio in classe: modello analitico di montacarichi (qui testo e soluzione)
(d) sciando in pianura (1) alla fine di una discesa, i bambini si fermano per primi; spiegazine in classe: forze, velocità, spostamento
(e) sciando in pianura (2) compiti a casa: includere l'attrito oltre alla resistenza dell'aria; discutere il bilancio energetico

3) ancora forze centrali
(a) il lavoro elementare è un differenziale esatto, ovvero ogni forza centrale è gradiente di un potenziale a simmetria sferica
(b) le forze centrali conservano quindi l'energia meccanica (sono conservative), oltre a conservare il momento angolare (già visto)
(c) modulo quadro del vettore momento angolare, scomposizione dell'energia cinetica in parte radiale e parte angolare
(d) potenziale efficace, riduzione a un problema unidimensionale (soltanto radiale)

4) orbite di una massa attaccata a una molla con il metodo del potenziale efficace
(a) momento angolare non nullo:
→ il minimo del potenziale efficace si trova a distanza dal centro r = R > 0 (R proporzionale al quadrato del momento angolare)
→ traiettorie comprese fra rmin < R e rmax > R per energie maggiori del minimo possibile
→ traiettoria con r = R = costante per l'energia minima possibile, corrispondente a velocità radiale nulla
→ sono le traiettorie ellittiche o circolari ottenute risolvendo esplicitamente l'equazione del moto per la molla 3D
(b) momento angolare nullo (vettori velocità e posizione paralleli)
→ il minimo del potenziale efficace si trova in r = 0
→ possibile solo un'oscillazione rettilinea che passa e ripassa per r = 0
→ anche qui ritroviamo una soluzioni già vista per la molla 3D

5) Keplero e Newton: la legge di gravitazione universale f= ‐ Gm₁m₂/r²
(a) da Keplero e Newton
(b) la Teoria di Newton della “Gravitazione Universale”
(c) come mai sulla Terra l'accelerazione di gravità g=9.81 m/s² è costante?
(d) legame fra g, G, massa e raggio della Terra
(e) significato della scelta dello zero per l'energia potenziale gravitazionale
(f) velocità di fuga dalla Terra (in assenza di aria)
(g) differenze con la molla: per piccoli r l'energia potenziale, anziché a zero, tende a ‐∞ come ‐1/r; per grandi r, anziché crescere come il quadrato di r, va a zero come ‐1/r

6) orbite di una massa soggetta a un centro di forza gravitazionale con il metodo del potenziale efficace
(a) momento angolare nullo (vettori velocità e posizione paralleli):
→ il potenziale efficace coincide con il potenziale gravitazionale, che diverge negativamente (tende a ‐∞) per r che tende a 0
→la traiettoria è rettilinea, ma non oscillante: se il punto materiale ha velocità iniziale sufficientemente grande rivolta verso l'esterno (velocità di fuga), scappa infinitamente lontano dal centro; altrimenti “ci casca dentro” con velocità infinita (in pratica, siccome Terra pianeti etc. non sono punti materiali, si sfracella al suolo)
(b) momento angolare non nullo
→ il minimo del potenziale efficace si trova in r = R > 0 (R cresce con il quadrato del momento angolare)
→ orbite limitate quando l'energia meccanica è negativa (circolari quando l'energia meccanica è la minima possibile per quel momento angolare, altrimenti ellittiche, stavolta con il centro della forza in uno dei due fuochi)
→ orbite illimitate (come quelle delle comete rispetto al Sole) quando l'energia meccanica è positiva

ATTENZIONE! data la prematura interruzione della lezione di venerdí per colpa delle mie lauree, dedicherò l'inizio della mia prossima lezione alla 3a legge di Keplero (rimasta fuori venerdí) e alla risposta a vostre domande sulla gravitazione (spiegata frettolosamente, purtroppo); siete incoraggiati a studiare il capitolo del libro di testo sulla gravitazione e prepararvi domande sullo schema delle lezioni svolte questa settimana

• PER IL WEEKEND, TESTI DELL'ESERCITAZIONE DI LUNEDI' 27/10